Bayer有序抖动

我非常喜欢复古的像素艺术。前段时间了解了有关早期Windows系统的屏幕保护程序的故事，其中提到的一款发布于1990年代的屏保After Dark: Starry Night，在黑色的屏幕上随机地绘制闪光的像素形成星空和星空下的城市，我很喜欢。

于是我以此为灵感，想要做一个类似的屏幕保护程序（虽然现在已经没人用屏保了）：输入一张图片，通过一些风格化处理转换成单色像素效果，然后进行随机绘制。然而我尝试了几种方法风格化效果都不好，Starry Night的算法也不能提供参考。最后在和AI的对话中我了解到Bayer抖动算法。简单搜索后，我醍醐灌顶。这种规则而不失艺术的纹理，不正是我一直想要达到的效果。

来源：ditherit.com

Bayer有序抖动

Bayer有序抖动是一种经典的Halftone技术，能将高色深图像按灰度转换成只有两种颜色的1位图像，同时让人眼感受到连续的色阶变化。另一种方法是误差扩散，例如Floyd-Steinberg算法，通过将像素二值化后产生的误差扩散到周围的像素，能够得到一种更自然的结果。而Bayer算法的特点在于会形成一系列类似网格或棋盘的规则纹理，虽然被认为效果不如误差扩散方法，但反而满足了我对复古像素风格的喜好。

来源：Wikipedia

为什么有序

Bayer算法之所以有序，就是源于其核心生成逻辑：Bayer矩阵。这个矩阵的大小通常是 $2^n \times 2^n$，包含$0$到$2^{n+1}-1$的所有整数。通过这$2^{n+1}$个阈值，就能在一个矩阵内模拟$2^{n+1}$种灰度级别。

Bayer矩阵是通过递归生成的。首先，定义最基础的 $2 \times 2$ 矩阵 $M_2$：
$$
M_2 = \begin{bmatrix} 0 & 2 \ 3 & 1 \end{bmatrix}
$$
为什么是这样？这个排列是为了让相近的阈值在空间上尽量分散，形成黑白交替的高频噪点，从而欺骗人眼，更好地模拟灰度。这是Bayer算法的核心思想。

然后，通过以下递归公式生成更大的矩阵 $M_{2n}$：
$$
M_{2n} = \begin{bmatrix} 4 \times M_n & 4 \times M_n + 2 \ 4 \times M_n + 3 & 4 \times M_n + 1 \end{bmatrix}
$$
让我们推导一下 $4 \times 4$ 的 Bayer 矩阵 $M_4$：

• 左上角：$4 \times M_2 = \begin{bmatrix} 0 & 8 \ 12 & 4 \end{bmatrix}$
• 右上角：$4 \times M_2 + 2 = \begin{bmatrix} 2 & 10 \ 14 & 6 \end{bmatrix}$
• 左下角：$4 \times M_2 + 3 = \begin{bmatrix} 3 & 11 \ 15 & 7 \end{bmatrix}$
• 右下角：$4 \times M_2 + 1 = \begin{bmatrix} 1 & 9 \ 13 & 5 \end{bmatrix}$

将它们拼在一起，就得到了 $M_4$：
$$
M_4 = \begin{bmatrix}
0 & 8 & 2 & 10 \
12 & 4 & 14 & 6 \
3 & 11 & 1 & 9 \
15 & 7 & 13 & 5
\end{bmatrix}
$$
这个矩阵包含了从 0 到 15 的所有整数，并且形成一种分形，在局部和整体都满足相近阈值尽量分散的思想，从而模拟17种灰度。

4阶Bayer矩阵的所有模式

算法执行部分，只需将灰度图的灰度级别和Bayer矩阵阈值进行归一化处理，然后将每个像素的坐标进行取模处理，找到Bayer矩阵中的对应位置（即将Bayer矩阵铺满图像），最后将灰度与阈值进行比较并二值化输出。

最终我便用Bayer算法实现了我的屏保想法。